\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{geometry}
\geometry{a4paper, margin=1in}

\title{Analiza Punktów Przecięcia Funkcji Liniowej i Kwadratowej}
\author{}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\section*{Opis zadania}

Celem zadania jest znalezienie punktów przecięcia dwóch funkcji: funkcji liniowej oraz funkcji kwadratowej. Obie funkcje opisują zależność położenia \( s \) od czasu \( t \), gdzie:
\begin{itemize}
    \item Funkcja liniowa: \( s_{\text{linear}}(t) = v \cdot t + s_0 \)
    \item Funkcja kwadratowa: \( s_{\text{quad}}(t) = a \cdot t^2 + b \cdot t + c \)
\end{itemize}

\section*{Rozwiązanie}

Aby znaleźć punkty przecięcia, przyrównujemy obie funkcje do siebie:
\begin{equation}
    v \cdot t + s_0 = a \cdot t^2 + b \cdot t + c
\end{equation}

Przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę, otrzymujemy równanie kwadratowe w postaci:
\begin{equation}
    a \cdot t^2 + (b - v) \cdot t + (c - s_0) = 0
\end{equation}

Równanie to można rozwiązać przy użyciu wzoru kwadratowego:
\begin{equation}
    t = \frac{-(b - v) \pm \sqrt{(b - v)^2 - 4 \cdot a \cdot (c - s_0)}}{2 \cdot a}
\end{equation}

\section*{Parametry}

Dla potrzeb zadania przyjęliśmy następujące wartości parametrów:
\begin{itemize}
    \item Prędkość \( v = 5 \, \text{m/s} \)
    \item Początkowe położenie \( s_0 = 2 \, \text{m} \)
    \item Współczynniki funkcji kwadratowej: \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 5 \)
\end{itemize}

\section*{Punkty przecięcia}

Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymaliśmy następujące wartości \( t \) oraz odpowiadające im wartości położenia \( s \):

\begin{itemize}
    \item Punkt przecięcia 1: \( t_1 = \frac{-B + \sqrt{B^2 - 4 \cdot A \cdot C}}{2 \cdot A} \)
    \item Punkt przecięcia 2: \( t_2 = \frac{-B - \sqrt{B^2 - 4 \cdot A \cdot C}}{2 \cdot A} 
\end{itemize}

\section*{Wykres}

Poniżej przedstawiono wykres funkcji liniowej oraz kwadratowej wraz z oznaczeniem punktów przecięcia.

\begin{center}
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{intersection_plot.png}
\end{center}

\end{document}

