68 lines
2.1 KiB
TeX
68 lines
2.1 KiB
TeX
|
\documentclass{article}
|
||
|
|
\usepackage{amsmath}
|
||
|
|
\usepackage{graphicx}
|
||
|
|
\usepackage{geometry}
|
||
|
|
\geometry{a4paper, margin=1in}
|
||
|
|
|
||
|
|
\title{Analiza Punktów Przecięcia Funkcji Liniowej i Kwadratowej}
|
||
|
|
\author{}
|
||
|
|
\date{\today}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
\maketitle
|
||
|
|
|
||
|
|
\section*{Opis zadania}
|
||
|
|
|
||
|
|
Celem zadania jest znalezienie punktów przecięcia dwóch funkcji: funkcji liniowej oraz funkcji kwadratowej. Obie funkcje opisują zależność położenia \( s \) od czasu \( t \), gdzie:
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item Funkcja liniowa: \( s_{\text{linear}}(t) = v \cdot t + s_0 \)
|
||
|
|
\item Funkcja kwadratowa: \( s_{\text{quad}}(t) = a \cdot t^2 + b \cdot t + c \)
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
|
||
|
|
\section*{Rozwiązanie}
|
||
|
|
|
||
|
|
Aby znaleźć punkty przecięcia, przyrównujemy obie funkcje do siebie:
|
||
|
|
\begin{equation}
|
||
|
|
v \cdot t + s_0 = a \cdot t^2 + b \cdot t + c
|
||
|
|
\end{equation}
|
||
|
|
|
||
|
|
Przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę, otrzymujemy równanie kwadratowe w postaci:
|
||
|
|
\begin{equation}
|
||
|
|
a \cdot t^2 + (b - v) \cdot t + (c - s_0) = 0
|
||
|
|
\end{equation}
|
||
|
|
|
||
|
|
Równanie to można rozwiązać przy użyciu wzoru kwadratowego:
|
||
|
|
\begin{equation}
|
||
|
|
t = \frac{-(b - v) \pm \sqrt{(b - v)^2 - 4 \cdot a \cdot (c - s_0)}}{2 \cdot a}
|
||
|
|
\end{equation}
|
||
|
|
|
||
|
|
\section*{Parametry}
|
||
|
|
|
||
|
|
Dla potrzeb zadania przyjęliśmy następujące wartości parametrów:
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item Prędkość \( v = 5 \, \text{m/s} \)
|
||
|
|
\item Początkowe położenie \( s_0 = 2 \, \text{m} \)
|
||
|
|
\item Współczynniki funkcji kwadratowej: \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 5 \)
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
|
||
|
|
\section*{Punkty przecięcia}
|
||
|
|
|
||
|
|
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymaliśmy następujące wartości \( t \) oraz odpowiadające im wartości położenia \( s \):
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item Punkt przecięcia 1: \( t_1 = \frac{-B + \sqrt{B^2 - 4 \cdot A \cdot C}}{2 \cdot A} \)
|
||
|
|
\item Punkt przecięcia 2: \( t_2 = \frac{-B - \sqrt{B^2 - 4 \cdot A \cdot C}}{2 \cdot A}
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
|
||
|
|
\section*{Wykres}
|
||
|
|
|
||
|
|
Poniżej przedstawiono wykres funkcji liniowej oraz kwadratowej wraz z oznaczeniem punktów przecięcia.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{intersection_plot.png}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|
||
|
|
|